Задача
ALG-B1-M02-P021 Когда четвёртая степень почти квадрат
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что при натуральном \(n\) число \(n^4+4\) не является квадратом.
Предположите \(n^4+4=m^2\) и разложите \(m^2-n^4\).
Пусть \(n^4+4=m^2\). Тогда \(m^2-n^4=4\), то есть \((m-n^2)(m+n^2)=4\).
Оба множителя положительны. Возможны пары \((1,4)\), \((2,2)\), \((4,1)\). Пара \((1,4)\) даёт \(2m=5\), невозможно. Пара \((2,2)\) даёт \(n=0\), противоречит натуральности. Пара \((4,1)\) невозможна по порядку множителей.
Следовательно, \(n^4+4\) не является квадратом.
Хорошая задача на превращение вопроса о квадрате в произведение.