Задача
ALG-B1-M02-P024 Пятая степень при нулевой сумме
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите, что \(a^5+b^5+c^5=\frac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)\).
Используйте \(c=-(a+b)\) или рекурсию для степенных сумм при \(a+b+c=0\).
Обозначим \(s_k=a^k+b^k+c^k\). Так как \(a,b,c\) являются корнями многочлена \(t^3+qt-r=0\), где \(q=ab+bc+ca\), \(r=abc\), для каждого корня \(t^3=-qt+r\).
Умножая на \(t^2\) и суммируя по трём корням, получаем \(s_5=-q s_3+r s_2\).
При \(a+b+c=0\) имеем \(s_3=3abc=3r\), а \(s_2=-2q\). Тогда \(s_5=-3qr-2qr=-5qr\).
Так как \(q=-\frac{s_2}{2}\), получаем \(s_5=\frac{5}{2}rs_2=\frac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)\).
Сильная задача: ученик должен удержать структуру, но без тяжёлой нотации книги.