Задача
ALG-B1-M02-P025 Факторизация циклической пятой степени
Разложите \(a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)\).
Выражение меняет знак при перестановке переменных, значит ожидается множитель \((a-b)(b-c)(c-a)\).
Обозначим выражение через \(E\). При \(a=b\), \(b=c\), \(c=a\) оно обращается в ноль, значит \(E\) делится на \((a-b)(b-c)(c-a)\).
Оставшийся множитель имеет степень \(2\) и симметричен, поэтому имеет вид \(\alpha(a^2+b^2+c^2)+\beta(ab+bc+ca)\). Подставляя \(c=0\), получаем \(E=a^4b-b^4a=ab(a-b)(a^2+ab+b^2)\), а \((a-b)(b-c)(c-a)=-(ab)(a-b)\). Поэтому оставшийся множитель равен \(-(a^2+ab+b^2)\) при \(c=0\).
Отсюда \(\alpha=-1\), \(\beta=-1\). Значит,
\[E=-(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca).\]
Это задача для сильных учеников: фактор угадывается по симметрии, а остаток находится аккуратной подстановкой.