Задача
ALG-B1-M02-P028 Семь множителей и скрытый коэффициент
В произведении семи натуральных чисел каждый множитель уменьшили на \(4\). Могло ли новое произведение стать ровно в \(80\) раз больше исходного? Если могло, приведите пример и обоснуйте его.
Попробуйте взять пять множителей равными \(1\), один множитель равным \(3\), а последний обозначить через \(a\).
Здесь нужен не перебор, а управление знаком. Если взять пять единиц и одну тройку, то после уменьшения на \(4\) появятся множители \(-3,-3,-3,-3,-3,-1\), произведение которых положительно и равно \(243\).
Пусть исходные числа равны \(1,1,1,1,1,3,a\). Исходное произведение равно \(3a\), а новое равно \(243(a-4)\).
Хотим получить увеличение в \(80\) раз:
\[243(a-4)=80\cdot3a.\]
То есть \(243a-972=240a\), откуда \(a=324\). Проверка: исходное произведение равно \(972\), новое равно \(243\cdot320=77760\), а \(80\cdot972=77760\). Значит, такой набор существует.
Уровень выше: нужно подобрать не только количество единиц, но и дополнительный малый множитель, чтобы знак и коэффициент сработали.