Задача
ALG-B1-M03-P026 Равные ли все числа?
Положительные числа \(x,y,z\) обладают таким свойством: значения \(x+2y^2+2z^2\), \(y+2z^2+2x^2\), \(z+2x^2+2y^2\) равны между собой. Обязательно ли \(x=y=z\)?
Вычтите два равных выражения. Должен появиться множитель \(x-y\).
Ответ: нет, не обязательно. Покажем, как найти контрпример.
Из равенства первых двух выражений получаем \(x+2y^2=y+2x^2\). Переносим всё в одну сторону:
\[x-y-2(x^2-y^2)=0.\]
Значит, \((x-y)(1-2(x+y))=0\). Поэтому для каждой пары переменных должно выполняться: либо они равны, либо их сумма равна \(\frac12\).
Возьмём \(x=y=\frac16\), \(z=\frac13\). Тогда \(x+y=\frac13\), но \(x+z=y+z=\frac12\). Проверим значения:
\[x+2y^2+2z^2=\frac16+\frac1{18}+\frac2{9}=\frac49,\]
и аналогично два других выражения тоже равны \(\frac49\). При этом \(x,y,z\) не все равны. Значит, утверждение неверно.
Переписанная региональная идея: равенство похожих выражений приводит к фактору \((x-y)\) и альтернативе “равны или фиксированная сумма”.