Задача
ALG-B1-M03-P025 Система с произведением и суммой
#25
★★★★★ Уровень 5 из 5
Решите систему \(x+y+xy=11\), \(x^2+y^2=25\).
Положите \(s=x+y\), \(p=xy\).
Пусть \(s=x+y\), \(p=xy\). Тогда \(s+p=11\), а \(x^2+y^2=s^2-2p=25\).
Из \(p=11-s\) получаем \(s^2-2(11-s)=25\), то есть \(s^2+2s-47=0\). Значит, \(s=-1\pm4\sqrt3\), \(p=11-s\).
Для существования действительных \(x,y\) нужно \(s^2-4p\ge0\). Для обоих найденных значений это условие выполняется. Тогда \(x,y\) — корни \(t^2-st+p=0\). Ответ можно записать так: для каждого \(s=-1\pm4\sqrt3\), \(p=11-s\), пары \((x,y)\) являются двумя перестановками корней \(t^2-st+p=0\).
Не каждый ответ обязан быть красивой парой целых чисел.