Задача
ALG-B1-M05-P012 Инвариант дробной рекурсии
#12
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a_1=2\), \(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}\). Найдите \(\frac1{a_n}\).
Перейдите к обратным величинам.
\(\frac1{a_{n+1}}=\frac{a_n+2}{2a_n}=\frac12+\frac1{a_n}\). Значит, \(\frac1{a_n}=\frac12+\frac{n-1}{2}=\frac n2\). Поэтому \(a_n=\frac2n\).
Замена превращает рекурсию в арифметическую прогрессию.