Задача
ALG-B1-M05-P014 Кассини в малом виде
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Для чисел Фибоначчи \(F_1=F_2=1\) докажите \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\) для \(n\ge2\).
Проверьте базу и сделайте переход, используя \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\).
База \(n=2\): \(F_3F_1-F_2^2=2\cdot1-1=1=(-1)^2\).
Если \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\), то \(F_{n+2}F_n-F_{n+1}^2=(F_{n+1}+F_n)F_n-F_{n+1}^2=-(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2)=(-1)^{n+1}\).
Классическая рекуррентная индукция.