Задача
ALG-B1-M05-P016 Оценка телескопической суммы
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что \(\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}<2\) для всех \(n\).
Для \(k\ge2\) сравните \(\frac1{k^2}\) с \(\frac1{k-1}-\frac1k\).
При \(k\ge2\), \(k^2>k(k-1)\), поэтому \(\frac1{k^2}<\frac1{k(k-1)}=\frac1{k-1}-\frac1k\).
Тогда сумма меньше \(1+\sum_{k=2}^{n}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=1+1-\frac1n<2\).
Оценка через телескопирование.