Задача
ALG-B1-M05-P020 Коэффициент перед произведением
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все действительные \(t\), для которых \(t\,n(n+3)(n+6)\) является целым числом при любом натуральном \(n\).
Inspired by regional olympiad method · 2011 · Класс 9 · Задача 5
Подставьте несколько малых \(n\), чтобы получить ограничение на \(t\).
Из условий для \(n=1,2,3\) получаем \(28t,80t,162t\in\mathbb Z\). Наибольший общий делитель чисел \(28,80,162\) равен \(2\). Следовательно, \(2t\in\mathbb Z\), то есть \(t=\frac{k}{2}\) для некоторого целого \(k\).
Обратно, \(n(n+3)(n+6)\) всегда чётно: если \(n\) чётно, это ясно, а если \(n\) нечётно, то \(n+3\) чётно. Поэтому каждое \(t=\frac{k}{2}\) подходит. Ответ: \(t=\frac{k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\).
Сохранена архитектура: несколько подстановок дают необходимый знаменатель, затем доказывается достаточность.