Задача
ALG-B1-M05-P021 Почти прямоугольные числа
#21
★★★★★ Уровень 5 из 5
Назовём число прямоугольным, если оно равно \(m(m+1)\). Докажите, что каждое прямоугольное число можно представить как частное двух прямоугольных чисел.
Inspired by final olympiad method · 2015 · Класс 10 · Задача 1
Попробуйте умножить \(n(n+1)\) на \(\frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}\).
Пусть дано число \(n(n+1)\). Тогда
\[n(n+1)=\frac{n(n+2)(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n^2+2n)(n^2+2n+1)}{(n+1)(n+2)}.\]
В числителе стоит произведение двух последовательных чисел \(n^2+2n\) и \(n^2+2n+1\), а в знаменателе — \((n+1)(n+2)\), тоже прямоугольное число. Значит, представление найдено.
Это последовательностная конструкция: из \(n\) строится новая пара соседних чисел.