ALG-B1-M05-P022 Периодическая разметка

Сложите подходящие кратные двух векторов, чтобы получить \((D,0)\) и \((0,D)\).

Обозначим \(u=(a,b-a)\), \(v=(b-a,-a)\). Тогда \(a u+(b-a)v=(a^2+(b-a)^2,0)=(D,0)\).

Также \((b-a)u-a v=(0,D)\). Поэтому разметка периодична при сдвигах на \((D,0)\) и \((0,D)\).

В фундаментальном квадрате \(D\times D\) число отмеченных клеток равно площади квадрата, делённой на площадь фундаментального параллелограмма решётки. Определитель векторов \(u,v\) равен \(-a^2-(b-a)^2=-D\), значит площадь фундаментального параллелограмма равна \(D\). Поэтому в квадрате площади \(D^2\) находится ровно \(D\) отмеченных клеток.

Low-confidence source adapted as a lattice-periodicity sequence problem; diagram recommended.