ALG-B1-M05-P024 Убывание корневой последовательности

Положите \(A=\sqrt[3^{n+1}]{a}\), \(B=\sqrt[3^{n+1}]{b}\) и разложите \(B^3-A^3\).

Тогда \(B>A>1\), \(y_{n+1}=3^{n+1}(B-A)\), а \(y_n=3^n(B^3-A^3)=3^{n+1}(B-A)\frac{B^2+AB+A^2}{3}\).

Так как \(A,B>1\), среднее \(\frac{B^2+AB+A^2}{3}>1\). Значит, \(y_n>y_{n+1}\).

Переписан метод сравнения соседних членов через разность степеней.