Задача
ALG-B1-M05-P025 Шесть последовательных чисел
#25
★★★★★ Уровень 5 из 5
Даны шесть последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить \(a,b,c,d,e,f\) так, чтобы \(\frac a{b+c}+\frac d{e+f}=1\).
Inspired by regional olympiad method · 2026 · Класс 10 · Задача 1
Запишите числа как \(n,n+1,\ldots,n+5\) и сделайте одинаковые знаменатели.
Возьмём \(a=n\), \(d=n+5\), \(b=n+1\), \(c=n+4\), \(e=n+2\), \(f=n+3\).
Тогда \(b+c=e+f=2n+5\), а \(a+d=2n+5\). Поэтому \(\frac a{b+c}+\frac d{e+f}=\frac{a+d}{2n+5}=1\).
Идея — симметрично разбить шесть подряд идущих чисел.