Задача
ALG-B1-M06-P002 Два тождества при нулевой сумме
#2
★☆☆☆☆ Уровень 1 из 5
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите, что \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\) и \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Первое тождество получается из квадрата суммы. Для второго используйте разложение \(a^3+b^3+c^3-3abc\).
Из \((a+b+c)^2=0\) получаем \(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\), откуда первое равенство.
Кроме того, \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\). Правая часть равна нулю, значит \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Эти два тождества будут постоянно использоваться в более сложных задачах.