Задача
ALG-B1-M06-P012 Одинаковые значения
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(x+y+z=0\) и \(x^2+y^2+z^2=2\). Докажите, что числа \(x^3-x\), \(y^3-y\), \(z^3-z\) равны.
Найдите \(xy+yz+zx\), а затем рассмотрите многочлен с корнями \(x,y,z\).
Из условий получаем \(xy+yz+zx=-1\). Значит, \(x,y,z\) являются корнями многочлена \(t^3+(xy+yz+zx)t-xyz=t^3-t-xyz\).
Поэтому для каждого из чисел \(x,y,z\) выполнено \(t^3-t=xyz\). Следовательно, \(x^3-x=y^3-y=z^3-z=xyz\).
Это первый шаг к идее «переменные как корни многочлена».