Задача
ALG-B1-M06-P017 Четвёртые степени
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(x+y+z=0\) и \(x^2+y^2+z^2=6\). Докажите, что \(x^4+y^4+z^4=18\).
Найдите \(xy+yz+zx\), затем выразите \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\).
Из нулевой суммы получаем \(xy+yz+zx=-3\). Тогда \((xy+yz+zx)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)\), а второй член равен нулю. Значит, \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=9\).
Теперь \((x^2+y^2+z^2)^2=x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\). Поэтому \(36=x^4+y^4+z^4+18\), откуда \(x^4+y^4+z^4=18\).
Две симметрические замены подряд: это уже олимпиадный уровень модуля.