Задача
ALG-B1-M06-P018 Восстановить тройку
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=6\), \(a^3+b^3+c^3=6\). Найдите все возможные тройки \((a,b,c)\).
Найдите \(ab+bc+ca\) и \(abc\), затем составьте кубический многочлен.
Из первых двух условий \(ab+bc+ca=-3\). Из тождества \(a^3+b^3+c^3=3abc\) получаем \(abc=2\).
Тогда \(a,b,c\) являются корнями \(t^3-3t-2=0\). Разложение \(t^3-3t-2=(t-2)(t+1)^2\) даёт набор корней \(2,-1,-1\). Значит, все решения — перестановки тройки \((2,-1,-1)\).
Задача закрепляет переход от симметрических сумм к многочлену.