Задача
ALG-B1-M06-P024 Рациональная линейная комбинация
Для некоторых \(x\) и \(y\) числа \(A=\sin x+\cos y\) и \(B=\cos x-\sin y\) являются положительными рациональными. Докажите, что найдутся натуральные числа \(m\) и \(n\), для которых \(m\sin x+n\cos x\) — натуральное число.
Выразите \(\cos y\) и \(\sin y\) через \(A,B,\sin x,\cos x\), затем используйте \(\sin^2y+\cos^2y=1\).
Имеем \(\cos y=A-\sin x\) и \(\sin y=\cos x-B\). Возводим в квадрат и складываем: \[(A-\sin x)^2+(\cos x-B)^2=1.\]
После раскрытия и использования \(\sin^2x+\cos^2x=1\) получаем \(A^2+B^2-2A\sin x-2B\cos x=0\), то есть \(2A\sin x+2B\cos x=A^2+B^2\).
Пусть \(N\) — общий знаменатель рациональных чисел \(A\) и \(B\). Тогда \(m=2AN^2\) и \(n=2BN^2\) — натуральные числа, а \((A^2+B^2)N^2\) — натуральное число. Умножив равенство на \(N^2\), получаем требуемое.
Анализ источника: объекты — рациональные тригонометрические суммы; первый подход — пытаться найти сами синусы и косинусы; скрытое наблюдение — квадратные тождества дают линейную комбинацию; ключевые идеи — выразить \(y\)-часть и очистить знаменатели. Знаки и структура сумм изменены.