Задача
ALG-B1-M06-P023 Рациональные суммы тригонометрии
Число \(t\) таково, что обе суммы \(S=\sin 48t+\sin 49t\) и \(C=\cos 48t+\cos 49t\) рациональны. Докажите, что оба слагаемых в сумме \(C\) рациональны.
Найдите \(S^2+C^2\). Затем вспомните, что \(\cos nt\) выражается многочленом от \(\cos t\).
Так как \(S\) и \(C\) рациональны, число \(S^2+C^2\) рационально. Раскроем его: \[S^2+C^2=2+2(\sin48t\sin49t+\cos48t\cos49t)=2+2\cos t.\] Значит, \(\cos t\) рационально.
Для любого натурального \(n\) число \(\cos nt\) выражается многочленом с целыми коэффициентами от \(\cos t\). Следовательно, \(\cos48t\) рационально. Поскольку \(C=\cos48t+\cos49t\) рационально, то \(\cos49t=C-\cos48t\) тоже рационально.
Анализ источника: объекты — две рациональные суммы соседних синусов и косинусов; первый подход — пытаться разделить сумму; скрытое наблюдение — квадрат суммы даёт \(\cos t\); ключевые идеи — тригонометрическое скалярное произведение и многочлен Чебышёва. Числа изменены, формулировка переписана.