Задача
ALG-B1-M07-P020 Дроби с x + 1
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(x,y,z>0\) и \(x+y+z=6\). Докажите \[\frac{x^2}{x+1}+\frac{y^2}{y+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge4.\]
Снова примените Коши в форме Энгеля и сложите знаменатели.
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{(x+1)+(y+1)+(z+1)}=\frac{36}{9}=4\). Равенство при \(x=y=z=2\).
Задача выглядит иначе, но метод тот же: сумма квадратов над положительными знаменателями.