Задача
ALG-B1-M07-P021 Произведение двух сумм
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\). Докажите \[(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.\]
Это прямое применение Коши-Буняковского.
По Коши \((a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge(\sqrt{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}\cdot\frac{1}{\sqrt{c}})^2=9\). Равенство при \(a=b=c\).
Классическая форма, которую ученики должны узнавать быстро.