Задача
ALG-B1-M07-P024 Первое неравенство Шура
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\). Докажите \[a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b.\]
Считайте без ограничения общности, что \(a\ge b\ge c\), и рассмотрите \(\sum a(a-b)(a-c)\).
Разность левой и правой частей равна \(\sum a(a-b)(a-c)\). Пусть \(a\ge b\ge c\). Тогда \[\sum a(a-b)(a-c)=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c).\]
Оба слагаемых неотрицательны: \(a-b\ge0\), \(a+b-c\ge0\), \(c\ge0\), \(a-c\ge0\), \(b-c\ge0\). Значит, вся сумма неотрицательна, и неравенство доказано.
Это задача-вызов: она показывает, что сортировка переменных иногда превращает симметрическое неравенство в очевидное.