Задача
ALG-B1-M07-P023 Сумма и произведение множителей
#23
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\) и \(abc=1\). Докажите \[(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)\ge27.\]
Докажите, что каждый множитель не меньше \(3\) с помощью AM-GM.
По AM-GM \(a+b+1\ge3\sqrt[3]{ab}\), \(b+c+1\ge3\sqrt[3]{bc}\), \(c+a+1\ge3\sqrt[3]{ca}\). Перемножая, получаем левую часть не меньше \(27\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=27\), так как \(abc=1\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Здесь нужно выбрать правильные три числа внутри каждого множителя.