Задача
ALG-B1-M08-P008 Квадраты из разностей
#8
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(f(0)=0\) и \(f(n+1)=f(n)+2n+1\) для всех целых \(n\ge0\). Докажите, что \(f(n)=n^2\) для всех \(n\ge0\).
Сложите нечётные числа \(1,3,\ldots,2n-1\).
Складывая равенства от \(0\) до \(n-1\), получаем \(f(n)-f(0)=1+3+\cdots+(2n-1)=n^2\). Так как \(f(0)=0\), имеем \(f(n)=n^2\).
Это функциональная запись знакомой суммы нечётных чисел.