Задача
ALG-B1-M08-P011 Инъективность из уравнения
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Функция \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) удовлетворяет \(f(x+f(y))=x+y\) для всех \(x,y\). Докажите, что \(f\) инъективна.
Предположите \(f(a)=f(b)\) и подставьте \(y=a\), \(y=b\) при одном и том же \(x\).
Пусть \(f(a)=f(b)\). Тогда для любого \(x\) имеем \(f(x+f(a))=x+a\) и \(f(x+f(b))=x+b\). Левые части равны, потому что \(f(a)=f(b)\). Значит, \(x+a=x+b\), откуда \(a=b\). Функция инъективна.
Здесь инъективность не дана, а извлекается из структуры уравнения.