Задача
ALG-B1-M08-P013 Треугольные числа
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(m+n)=f(m)+f(n)+mn\), \(f(0)=0\), \(f(1)=0\). Найдите \(f(n)\).
Сравните с функцией \(\frac{n(n-1)}{2}\).
Положим \(g(n)=f(n)-\frac{n(n-1)}{2}\). Тогда \(\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}=\frac{m(m-1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}+mn\), поэтому \(g(m+n)=g(m)+g(n)\).
Так как \(g(1)=0\), получаем \(g(n)=0\) для всех целых \(n\). Следовательно, \(f(n)=\frac{n(n-1)}{2}\).
Показывает, что квадратичная добавка не всегда \(n^2\); важна точная модель.