Задача
ALG-B1-M08-P023 Квадратичная Cauchy-замена
#23
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\) удовлетворяет \(f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\) для всех \(x,y\in\mathbb Q\), а \(f(1)=1\). Найдите \(f\).
Вычтите \(x^2\): положите \(g(x)=f(x)-x^2\).
Пусть \(g(x)=f(x)-x^2\). Тогда \(g(x+y)=f(x+y)-(x+y)^2=f(x)-x^2+f(y)-y^2=g(x)+g(y)\). Значит, \(g\) аддитивна на \(\mathbb Q\).
Так как \(g(1)=f(1)-1=0\), получаем \(g(q)=0\) для всех рациональных \(q\). Следовательно, \(f(x)=x^2\). Проверка подстановкой очевидна: \((x+y)^2=x^2+y^2+2xy\).
Это главный шаблон «вычесть известную часть».