Задача
ALG-B1-M08-P022 Уравнение с обратимостью
#22
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) возрастает и удовлетворяет \(f(x+f(y))=f(x)+y\) для всех \(x,y\). Найдите \(f\).
Сначала подставьте \(y=0\), затем \(x=0\), а потом замените \(y\) на \(f(t)\).
Положим \(a=f(0)\). При \(y=0\) имеем \(f(x+a)=f(x)\). Так как \(f\) возрастает, она инъективна, значит \(a=0\). При \(x=0\) получаем \(f(f(y))=y\).
Теперь в исходном уравнении берём \(y=f(t)\). Тогда \(f(x+t)=f(x)+f(t)\), то есть \(f\) аддитивна. Возрастающая аддитивная функция имеет вид \(f(x)=cx\), где \(c>0\). Из \(f(f(y))=y\) следует \(c^2y=y\) для всех \(y\), значит \(c=1\). Ответ: \(f(x)=x\).
Сильная задача модуля: несколько подстановок, инъективность и регулярность Cauchy работают вместе.