Задача
ALG-B1-M10-P015 Оценка произведений
#15
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите, что \(ab+bc+ca\le3\).
Используйте \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\).
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\ge3(ab+bc+ca)\). Так как \(a+b+c=3\), имеем \(9\ge3(ab+bc+ca)\), то есть \(ab+bc+ca\le3\).
Симметрическое неравенство в смешанной подборке.