Задача
ALG-B1-M10-P016 Тройка чисел
#16
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все вещественные тройки \((a,b,c)\), если \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=8\), \(a^3+b^3+c^3=0\).
Используйте \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Из нулевой суммы \(a^3+b^3+c^3=3abc\), значит \(abc=0\). Также \(ab+bc+ca=-4\). Пусть один из чисел равен \(0\), например \(c=0\). Тогда \(a+b=0\), \(a^2+b^2=8\), откуда \(a=\pm2\), \(b=\mp2\). Все решения — перестановки \((2,-2,0)\).
Смешение симметрических сумм и полного ответа.