ALG-B2-M01-P006 Циклическая сумма дробей

Подсказка 1. Выберите наибольшее из \(x,y,z\).

Подсказка 2. Если \(x\ge z\), сравните \(\frac{y}{y+z}\) и \(\frac{y}{y+x}\).

Переименуем переменные циклически так, чтобы \(x\ge z\). Тогда \(y+z\le y+x\), поэтому \(\frac{y}{y+z}\ge\frac{y}{y+x}\). Следовательно, \[\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\ge\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{z+x}=1+\frac{z}{z+x}>1.\]

Учебная задача модуля. Методические теги: ordering, fractions, bounds.