Задача
ALG-B2-M01-P007 Нельзя всё оценить отдельно
Ненулевые \(x,y\) удовлетворяют \(x^2-x>y^2\) и \(y^2-y>x^2\). Какой знак имеет \(xy\)?
Подсказка 1. Сначала сложите неравенства.
Подсказка 2. Затем аккуратно перемножьте преобразованные неравенства.
Сложение даёт \(-x-y>0\), то есть \(1-x-y>1>0\). Теперь перемножим неравенства \(x^2-x>y^2\) и \(y^2-y>x^2\). Это можно делать, потому что \(x^2\) и \(y^2\) положительны, а левые части больше них. Получаем \((x^2-x)(y^2-y)>x^2y^2\). После раскрытия и сокращения это даёт \(xy(1-x-y)>0\). Так как \(1-x-y>0\), имеем \(xy>0\).
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 6: важно сложить условия, а затем безопасно перемножить их после проверки положительности.
G. Почему это не одноходовая задача. Ни одно из двух неравенств отдельно не определяет знак \(xy\).