Задача
ALG-B2-M01-P009 Три квадратичных трёхчлена
Даны трёхчлены \(F_i(x)=x^2+2p_i x+q_i\), \(i=1,2,3\). Известно, что \(p_1p_2p_3=q_1q_2q_3=N>1\). Докажите, что хотя бы один из трёхчленов имеет два различных действительных корня.
Подсказка 1. Предположите, что у всех дискриминанты неположительны.
Подсказка 2. Перемножать можно только после проверки знаков \(q_i\).
Предположим противное. Тогда для каждого \(i\) дискриминант \(4(p_i^2-q_i)\le0\), то есть \(p_i^2\le q_i\). Отсюда все \(q_i\ge0\), а значит неравенства можно перемножить: \((p_1p_2p_3)^2\le q_1q_2q_3\). Получаем \(N^2\le N\), что невозможно при \(N>1\). Следовательно, хотя бы для одного \(i\) имеем \(p_i^2>q_i\), и соответствующий трёхчлен имеет два различных действительных корня.
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 6: один главный скрытый ход — перемножить дискриминантные оценки после проверки знаков.
G. Почему это не одноходовая задача. Нужно не просто вспомнить дискриминант, а связать три трёхчлена через произведение.