Задача
ALG-B2-M01-P010 Замкнутый набор чисел
На доске записаны \(2027\) действительных чисел. Сумма любых трёх записанных чисел также есть среди записанных чисел. Докажите, что среди них не меньше \(2025\) нулей.
Подсказка 1. Упорядочите числа.
Подсказка 2. Сравните сумму трёх наименьших с минимумом и сумму трёх наибольших с максимумом.
Пусть \(a_1\le a_2\le\cdots\le a_{2027}\). Так как \(a_1+a_2+a_3\) записано на доске, оно не меньше \(a_1\), значит \(a_2+a_3\ge0\). Аналогично \(a_{2025}+a_{2026}+a_{2027}\) записано и не больше \(a_{2027}\), значит \(a_{2025}+a_{2026}\le0\). Но \(a_2\le a_3\le a_{2025}\le a_{2026}\), поэтому \[0\le a_2+a_3\le a_{2025}+a_{2026}\le0.\] Следовательно, \(a_2+a_3=a_{2025}+a_{2026}=0\), и из порядка получаем \(a_2=a_3=\cdots=a_{2026}=0\). Значит, нулей хотя бы \(2025\). Пример \(-1,0,\ldots,0,1\) показывает, что оценка точна.
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: надо использовать сразу два экстремальных сравнения и сжать весь набор между ними.
G. Почему это не одноходовая задача. Один выбор трёх чисел даёт только половину цепочки; нужна верхняя и нижняя граница.