Задача
ALG-B2-M01-P013 Две положительные дуги
По кругу записаны \(2n\) действительных чисел, их общая сумма положительна. Для каждого числа рассмотрим две дуги длины \(n\), в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого суммы на обеих таких дугах положительны.
Подсказка 1. Обозначьте сумму \(n\) подряд идущих чисел через \(S_i\).
Подсказка 2. Используйте \(S_i+S_{i+n}=S\), где \(S\) — общая сумма.
Пусть числа идут как \(a_1,\ldots,a_{2n}\), индексы считаются по модулю \(2n\), а \(S_i=a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+n-1}\). Общая сумма \(S>0\), поэтому \(S_i+S_{i+n}=S\). Значит, среди \(S_i\) есть положительные. Если все \(S_i>0\), любое число подходит. Иначе при обходе круга найдётся переход \(S_i>0\), \(S_{i+1}\le0\). Тогда сумма дуги длины \(n\), заканчивающейся в \(a_i\) с другой стороны, равна \(S-S_{i+1}>0\). Поэтому число \(a_i\) является концом двух дуг с положительными суммами.
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Финальный уровень 8: скрытая идея — перейти от чисел к суммам дуг и найти смену знака.
G. Почему это не одноходовая задача. Положительная общая сумма не указывает сразу нужное число; нужен циклический переход.