Задача
ALG-B2-M01-P012 Три против двух или четырёх
Даны \(12\) различных положительных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать три числа, произведение которых больше произведения двух других выбранных чисел, или три числа, произведение которых больше произведения четырёх других выбранных чисел.
Подсказка 1. Упорядочите числа по убыванию.
Подсказка 2. Разделите случаи по тому, больше или меньше \(1\) шестое число.
Пусть \(a_1>a_2>\cdots>a_{12}>0\). Тогда \(a_1a_2a_3>a_4a_5a_6\). Если \(a_6\ge1\), то \(a_1a_2a_3>a_4a_5a_6\ge a_4a_5\), и найдены три числа против двух. Если \(a_6<1\), то \(a_7<1\), и \(a_1a_2a_3>a_4a_5a_6>a_4a_5a_6a_7\), поэтому найдены три числа против четырёх.
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 6: метод простой, но нужно правильно выбрать границу \(1\).
G. Почему это не одноходовая задача. Без упорядочивания непонятно, какие пять-семь чисел сравнивать.