Задача
ALG-B2-M01-P028 Убывающая корневая последовательность
Пусть \(a>0\), \(a\ne1\), и \[x_n=2^n\left(\sqrt[2^n]{a}-1\right).\] Докажите, что последовательность \(x_1,x_2,\ldots\) строго убывает.
Подсказка 1. Свяжите \(x_n\) и \(x_{n+1}\) через одну переменную.
Подсказка 2. Пусть \(t=\sqrt[2^{n+1}]{a}\), тогда \(\sqrt[2^n]{a}=t^2\).
Положим \(t=\sqrt[2^{n+1}]{a}\). Тогда \(t\ne1\), \(\sqrt[2^n]{a}=t^2\), и \[x_n=2^n(t^2-1),\qquad x_{n+1}=2^{n+1}(t-1).\] Поэтому \[x_n-x_{n+1}=2^n(t^2-1)-2^{n+1}(t-1)=2^n(t-1)^2>0.\] Значит, \(x_n>x_{n+1}\) для всех \(n\), и последовательность строго убывает.
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: скрытый ход — выразить соседние члены через общий корень.
G. Почему это не одноходовая задача. Нельзя сравнить корни напрямую без правильной замены.