Задача
ALG-B2-M01-P029 Жёсткие разности
#29
★★★★★ Уровень 5 из 5
Числа \(u_1,\ldots,u_m\) удовлетворяют \(u_i-u_j\ge i^2-j^2\) для любых \(i,j\). Докажите, что все разности на самом деле равны: \(u_i-u_j=i^2-j^2\).
Подсказка 1. Запишите условие дважды: для \((i,j)\) и для \((j,i)\).
Подсказка 2. Одна запись даёт нижнюю границу, другая — верхнюю.
Из условия для пары \((i,j)\) имеем \(u_i-u_j\ge i^2-j^2\). Для пары \((j,i)\) получаем \(u_j-u_i\ge j^2-i^2\), то есть \(u_i-u_j\le i^2-j^2\). Нижняя и верхняя границы совпадают, поэтому \(u_i-u_j=i^2-j^2\).
Учебная задача модуля. Методические теги: bounds, squeeze, sequence.