Задача
ALG-B2-M02-P005 Сумма обратных
#5
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Если \(a,b,c>0\) и \(a+b+c=1\), докажите \(\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge9\).
Подсказка 1. Сначала найдите нижнюю оценку для \(abc\).
Подсказка 2. Используйте \((a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge9\).
По AM-GM применённому к числам \(\frac{a}{a},\frac{a}{b},\frac{a}{c}\) и циклически, удобнее записать стандартную форму: \((a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge(1+1+1)^2=9\). Так как \(a+b+c=1\), получаем требуемое.
Учебная задача модуля AM-GM. Методические теги: am-gm, fractions.