Задача
ALG-B2-M02-P006 Сдвинутое произведение
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c>0\) и \(a+b+c=6\). Докажите \((1+a)(1+b)(1+c)\le27\).
Подсказка 1. Посмотрите на сумму \(1+a,1+b,1+c\).
Подсказка 2. Максимум произведения достигается при равенстве этих трёх чисел.
Сумма чисел \(1+a,1+b,1+c\) равна \(9\). По AM-GM их произведение не больше \(\left(\frac93\right)^3=27\). Равенство при \(a=b=c=2\).
Учебная задача модуля AM-GM. Методические теги: am-gm, equality-case.