Задача
ALG-B2-M02-P008 Нормировка суммы
#8
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\). Докажите \[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3.\]
Подсказка 1. Перемножьте три дроби.
Подсказка 2. Их произведение равно \(1\).
По AM-GM: \[\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=1.\] Отсюда следует утверждение.
Учебная задача модуля AM-GM. Методические теги: am-gm, homogeneous.