Задача
ALG-B2-M02-P012 Сумма и произведение четырёх чисел
Положительные \(a,b,c,d\) удовлетворяют \(2(a+b+c+d)\ge abcd\). Докажите \[a^2+b^2+c^2+d^2\ge abcd.\]
Подсказка 1. Разберите случаи \(abcd\ge16\) и \(abcd<16\).
Подсказка 2. В первом случае используйте условие, во втором — AM-GM для квадратов.
Пусть \(P=abcd\), \(S=a+b+c+d\). Если \(P\ge16\), то \[a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\left(\frac{S}{4}\right)^2\ge4\left(\frac{P}{8}\right)^2=\frac{P^2}{16}\ge P.\] Если \(P<16\), то по AM-GM \[a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\sqrt P.\] Из \(P<16\) следует \(4\sqrt P>P\). В обоих случаях требуемое доказано.
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Финальный уровень 8: решение требует выбрать порог \(16\) и переключить два разных применения AM-GM.
G. Почему это не одноходовая задача. Прямое AM-GM не использует условие; условие полезно только в одном из случаев.