Задача
ALG-B2-M02-P013 Четыре квадрата
Действительные \(a,b,c,d\) удовлетворяют \(a^2+b^2+c^2+d^2=9\). Докажите \((3+a)(3+b)\ge cd\).
Подсказка 1. Сначала оцените \(cd\) через \(c^2+d^2\).
Подсказка 2. Останется квадрат \((a+b+3)^2\).
Имеем \(cd\le |cd|\le\frac{c^2+d^2}{2}=\frac{9-a^2-b^2}{2}\). Достаточно доказать \(2(3+a)(3+b)\ge9-a^2-b^2\). После переноса получаем \(a^2+2ab+b^2+6a+6b+9=(a+b+3)^2\ge0\). Значит, исходное неравенство верно.
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 6: одна AM-GM-оценка и скрытый квадрат после преобразования.
G. Почему это не одноходовая задача. Нужно сначала понять, какую часть заменить через сумму квадратов.