Задача
ALG-B2-M02-P016 Четыре обратных квадрата
Положительные \(a,b,c,d\) имеют сумму \(3\). Докажите \[\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+\frac1{d^2}\le\frac1{a^2b^2c^2d^2}.\]
Подсказка 1. Домножьте на \(a^2b^2c^2d^2\).
Подсказка 2. После упорядочивания используйте \(ab(c+d)\le1\).
После умножения надо доказать \[a^2b^2c^2+a^2b^2d^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2\le1.\] Считаем \(a\ge b\ge c\ge d\). По AM-GM для \(a,b,c+d\) имеем \(ab(c+d)\le\left(\frac{a+b+c+d}{3}\right)^3=1\), значит \(a^2b^2(c+d)^2\le1\). Достаточно проверить, что левая часть не превосходит \(a^2b^2(c+d)^2\). После раскрытия это сводится к \(c^2d^2(a^2+b^2)\le2a^2b^2cd\), что верно, так как \(cd\le b^2\) и \(cd\le a^2\). Следовательно, исходное неравенство доказано.
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Финальный уровень 8: нужны домножение, упорядочивание и неочевидный выбор трёх слагаемых для AM-GM.
G. Почему это не одноходовая задача. Простая оценка отдельных дробей не работает; нужно перейти к симметрическому многочлену.