Задача
ALG-B2-M02-P017 Произведение разностей
Действительные \(x,y,z\) удовлетворяют \(x^2+y^2+z^2=1\). Докажите \[(x-y)(y-z)(x-z)\le\frac1{\sqrt2}.\]
Подсказка 1. Если левая часть отрицательна, всё ясно; иначе упорядочите \(x\ge y\ge z\).
Подсказка 2. Положите \(u=x-y\), \(v=y-z\).
Можно считать \(x\ge y\ge z\). Пусть \(u=x-y\ge0\), \(v=y-z\ge0\), тогда \(x-z=u+v\), и левая часть равна \(uv(u+v)\). Из \(x^2+y^2+z^2=1\) следует \((x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2\le3\), то есть \(u^2+v^2+(u+v)^2\le3\). Для фиксированного \(s=u+v\) произведение \(uv\le\frac{s^2}{4}\). Кроме того, \(u^2+v^2\ge\frac{s^2}{2}\), значит \(\frac32s^2\le3\), то есть \(s\le\sqrt2\). Поэтому \(uv(u+v)\le\frac{s^3}{4}\le\frac{(\sqrt2)^3}{4}=\frac1{\sqrt2}\).
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: требуется упорядочить переменные и оптимизировать через две разности.
G. Почему это не одноходовая задача. AM-GM применяется не к исходным переменным, а к разностям после замены.