Задача
ALG-B2-M02-P019 Три радикала с знаменателями
Пусть \(a,b,c\ge1\). Докажите \[\frac{a+b+c}{4}\ge\frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b}.\]
Подсказка 1. Оцените первое слагаемое через \(b+c\ge2\sqrt{bc}\).
Подсказка 2. Затем снова примените AM-GM к \(2\sqrt{\left(a-\frac1b\right)\frac1c}\).
Имеем \(b+c\ge2\sqrt{bc}\), поэтому \[4\frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}\le2\sqrt{\frac{ab-1}{bc}}=2\sqrt{\left(a-\frac1b\right)\frac1c}\le a-\frac1b+\frac1c.\] Аналогично \[4\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}\le b-\frac1c+\frac1a,\qquad 4\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b}\le c-\frac1a+\frac1b.\] Складывая, получаем \(4\) умноженное на правую часть не больше \(a+b+c\). Это и есть требуемое.
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Финальный уровень 8: AM-GM применяется дважды в каждом циклическом слагаемом.
G. Почему это не одноходовая задача. Первый AM-GM только убирает знаменатель; второй превращает радикал в телескопическую сумму.