Задача
ALG-B2-M02-P018 Циклическая сумма дробей
Пусть \(x_1,\ldots,x_n>0\), \(n\ge2\), и \(x_{n+1}=x_1\). Докажите \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1+x_i^2}{1+x_ix_{i+1}}\ge n.\]
Подсказка 1. Сначала докажите оценку для произведения всех дробей.
Подсказка 2. Используйте \((1+x_i^2)(1+x_{i+1}^2)\ge(1+x_ix_{i+1})^2\).
Для каждого \(i\) имеем \[(1+x_i^2)(1+x_{i+1}^2)-(1+x_ix_{i+1})^2=(x_i-x_{i+1})^2\ge0.\] Перемножая эти неравенства по всем \(i\), получаем \[\prod_{i=1}^{n}\frac{1+x_i^2}{1+x_ix_{i+1}}\ge1.\] Теперь применяем AM-GM к \(n\) положительным дробям: их сумма не меньше \(n\)-кратного корня из произведения, то есть не меньше \(n\).
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Финальный уровень 8: ключевой ход — сначала получить произведение, а не пытаться оценивать сумму напрямую.
G. Почему это не одноходовая задача. Видимая сумма не подходит для AM-GM, пока не доказан контроль произведения.