Задача
ALG-B2-M02-P021 Круговая версия игры
Дано \(2n\) неотрицательных чисел с суммой \(1\), \(n\ge2\). Их надо расставить по кругу так, чтобы максимальное произведение соседних чисел было как можно меньше. Докажите, что для любых чисел можно добиться максимума не больше \(\frac1{8(n-1)}\), и приведите набор, для которого меньше нельзя.
Подсказка 1. Для примера возьмите \(0,\frac12\) и \(2n-2\) одинаковых чисел.
Подсказка 2. Для оценки упорядочите числа и поставьте большие через места, затем малые в обратном порядке.
Нижняя оценка: набор \(0,\frac12,\frac1{4(n-1)},\ldots,\frac1{4(n-1)}\). Число \(\frac12\) имеет двух соседей; хотя бы один из них равен \(\frac1{4(n-1)}\), значит максимальное произведение не меньше \(\frac1{8(n-1)}\).
Для верхней оценки упорядочим \(x_1\ge\cdots\ge x_{2n}\). Расставим числа так, чтобы возможные большие соседние произведения имели вид \(x_kx_{2n-k}\), \(1\le k\le n-1\). Тогда, как и в парной задаче, если \(S=x_1+\cdots+x_k\), то \[x_kx_{2n-k}\le\frac{S(1-S)}{k(2n-2k)}\le\frac1{4k(2n-2k)}\le\frac1{8(n-1)}.\] Значит, такая граница достижима для любых чисел и точна.
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: стратегия требует конструкции расстановки и общей оценки через \(S(1-S)\).
G. Почему это не одноходовая задача. Даже правильная оценка произведения бесполезна без расстановки, которая сводит все соседства к контролируемым парам.