Задача
ALG-B2-M02-P022 Двенадцать квадратов из одного квадрата
Пусть \(a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_{18}>0\) и \(a_1^2+\cdots+a_{18}^2=1\). Докажите \[a_7+a_{10}+a_{13}+a_{16}\le1,\qquad a_7+a_8+a_9\le1.\]
Подсказка 1. Используйте порядок: первые \(16\) квадратов можно сгруппировать по четыре.
Подсказка 2. Последний шаг — RMS-AM.
Так как последовательность невозрастает, \[a_1^2+\cdots+a_{16}^2\ge4a_7^2+4a_{10}^2+4a_{13}^2+4a_{16}^2.\] Поэтому \[1\ge4(a_7^2+a_{10}^2+a_{13}^2+a_{16}^2)\ge(a_7+a_{10}+a_{13}+a_{16})^2,\] где в последнем переходе использовано RMS-AM. Значит, первая сумма не больше \(1\). Аналогично \(1\ge3(a_7^2+a_8^2+a_9^2)\ge(a_7+a_8+a_9)^2\), откуда следует второе неравенство.
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Финальный уровень 8: задача выделяет алгебраическое ядро геометрической упаковки через упорядочивание и RMS-AM.
G. Почему это не одноходовая задача. Обычная AM-GM по всем \(18\) числам не видит нужные индексы; нужно правильно сгруппировать упорядоченный список.